Question

3．若函數(shù)f（x）=sin²x+asinx+b（a，b∈R）在[-$\frac{π}{2}$，0]上存在零點(diǎn)，且0≤b-2a≤1，則b的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{2}{3}$，0]
• B． [-3，-2]
• C． [-2，0]
• D． [-3，0]

Answer 1

分析 討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出不等式組，作出平面區(qū)域，得出b的取值范圍．

解答 解：設(shè)sinx=t，則t∈[-1，0]，
∴關(guān)于t的方程t²+at+b=0在[-1，0]上有解，
令g（t）=t²+at+b，
（1）若g（t）在[-1，0]上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}{b≥0}\\{1-a+b≥0}\\{{a}^{2}-4b＞0}\\{-1＜-\frac{a}{2}＜0}\\{0≤b-2a≤1}\end{array}\right.$，無(wú)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
（2）若g（t）在[-1，0]上存在1個(gè)零點(diǎn)，則g（-1）g（0）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a+b）≤0}\\{0≤b-2a≤1}\end{array}\right.$，
作出平面區(qū)域如圖所示：

解方程組$\left\{\begin{array}{l}{b-2a=1}\\{1-a+b=0}\end{array}\right.$得A（-2，-3）．
∴b的范圍是[-3，0]．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，屬于中檔題．