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14.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x}{(x+2)ln(1+x)}$
(Ⅰ)當x>0時,證明:f(x)<$\frac{1}{2}$;
(Ⅱ)當x>-1,且x≠0時,不等式(1+kx)(x+2)f(x)>1+x成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (I)不等式等價于$\frac{2x}{x+2}<ln(1+x)$,令$h(x)=ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}$,利用導數(shù)求出得出h(x)的單調性得出h(x)>0即可.
(II)不等式等價于$\frac{{(1+x)ln(1+x)-x-k{x^2}}}{ln(1+x)}<0$,令g(x)=(1+x)ln(1+x)-x-kx2,故而g″(x)=$\frac{1}{1+x}$-2k,對x的范圍進行討論得出結論.

解答 (Ⅰ)證明:∵x>0,ln(1+x)>0,
要證$f(x)=\frac{x}{(x+2)ln(1+x)}<\frac{1}{2}$,只需證:$\frac{2x}{x+2}<ln(1+x)$,
令$h(x)=ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}$,只需證h(x)>0即可.
∵$h'(x)=\frac{x^2}{{(1+x){{(2+x)}^2}}}>0$,
∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
故h(x)>h(0)=0,即命題結論成立.
(Ⅱ)原不等式等價于$\frac{x(1+kx)}{ln(1+x)}>1+x$.
當x>0時,$\frac{x}{ln(1+x)}>0$;當-1<x<0時,$\frac{x}{ln(1+x)}>0$,
原不等式等價于$\frac{{(1+x)ln(1+x)-x-k{x^2}}}{ln(1+x)}<0$,
令g(x)=(1+x)ln(1+x)-x-kx2
令m(x)=g'(x)=ln(1+x)-2kx,$m'(x)=\frac{1}{1+x}-2k$,
①當x>0時,有$0<\frac{1}{1+x}<1$,
令2k≥1,則m'(x)<0,故g'(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),即g'(x)<g'(0)=0,
因此g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),從而g(x)<g(0)=0,
所以,當$k≥\frac{1}{2}$時,對于x>0,有$\frac{{(1+x)ln(1+x)-x-k{x^2}}}{ln(1+x)}<0$,
當-1<x<0時,有$\frac{1}{1+x}>1$,
令2k≤1,則m(x)>0,故g'(x)在(-1,0)上是增函數(shù),即g'(x)<g'(0)=0,
因此,g(x)在(-1,0)上是減函數(shù),從而,g(x)>g(0)=0,
所以當$k≤\frac{1}{2}$時,對于-1<x<0,有$\frac{{(1+x)ln(1+x)-x-k{x^2}}}{ln(1+x)}<0$,
綜上,當$k=\frac{1}{2}$時,在x>-1,且x≠0時,不等式(1+kx)(x+2)f(x)>1+x成立.

點評 本題考察了函數(shù)的單調性,導數(shù)的應用,不等式的證明,本題是一道中檔題.

練習冊系列答案
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