Question

15．已知函數f（x）=aln（x+1）-x²在區間（0，1）內任取兩個實數p，q，且p≠q，不等式$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞1$恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． [15，+∞）
• B． $[{-\frac{1}{8}，+∞}）$
• C． [1，+∞）
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 依題意可得，f′（x+1）=$\frac{a}{x+2}$-2（x+1）＞1恒成立，其中x∈（0，1）．分離參數a得：a＞[1+2（x+1）]（x+2）恒成立，x∈（0，1）．構造函數h（x）=[1+2（x+1）]（x+2），則a＞[h（x）]_max，x∈（0，1），利用二次函數的單調性質可求得[h（x）]_max=15，從而可得實數a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f（x+1）=aln（x+2）-（x+1）²，
又?p，q∈（0，1），且p≠q，不等式$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞1$恒成立?$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{（p+1）-（q+1）}＞1$恒成立，
即f′（x+1）=$\frac{a}{x+2}$-2（x+1）＞1恒成立，其中x∈（0，1）．
整理得：a＞[1+2（x+1）]（x+2）恒成立，x∈（0，1）．
令h（x）=[1+2（x+1）]（x+2），
則a＞[h（x）]_max，x∈（0，1）．
∵h（x）=2x²+7x+6，其對稱軸方程為x=-$\frac{7}{4}$，h（x）在區間（0，1）上單調遞增，
∴當x→1時，h（x）→15，
∴a≥15，即實數a的取值范圍為[15，+∞），
故選：A．

點評 本題考查函數恒成立問題，分析得到f′（x+1）=$\frac{a}{x+2}$-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立是關鍵，考查等價轉化思想、函數與方程思想的綜合運用，考查二次函數的單調性質，屬于難題．