Question

3．設拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點P（-1，0）作斜率為k（k＞0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，則k=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及拋物線的焦點弦公式，聯立即可求得x₁，x₂，由x₁•x₂=1，即可求得k的值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
直線AB的方程為y-0=k （x+1），k＞0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入拋物線y²=4x化簡可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-（2{k}^{2}-4）}{{k}^{2}}$，①x₁•x₂=1，②
由拋物線的焦半徑公式可知：丨AF丨=x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+1，丨BF丨=x₂+$\frac{p}{2}$=x₂+1，
由$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，則$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，則x₂-2x₁=1，③
由①②解得：x₁=$\frac{-3{k}^{2}+4}{3{k}^{2}}$，x₂=$\frac{-3{k}^{2}+8}{3{k}^{2}}$，
x₁•x₂=$\frac{-3{k}^{2}+4}{3{k}^{2}}$×$\frac{-3{k}^{2}+8}{3{k}^{2}}$=1，整理得：k²=$\frac{8}{9}$，解得：k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由k＞0，則k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選B．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及拋物線的焦半徑公式，考查計算能力，屬于中檔題．