Question

11．已知函數f（x）=|x|•e^x（x≠0），其中e為自然對數的底數，關于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四個相異實根，則實數λ的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． $（{2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $（{e+\frac{2}{e}，+∞}）$
• D． $（{2e+\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 寫出分段函數，利用導數研究單調性和極值，畫出圖形的大致形狀，結合關于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四個相異實根列式求得實數λ的取值范圍．

解答 解：f（x）=|x|•e^x=$\left\{\begin{array}{l}{x•{e}^{x}，x＞0}\\{-x•{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$．
當x＞0時，由f（x）=x•e^x，得f′（x）=e^x+x•e^x=e^x（x+1）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，由f（x）=-x•e^x，得f′（x）=-e^x-x•e^x=-e^x（x+1）．
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，
∴當x=-1時，函數f（x）取得極大值為f（-1）=$\frac{1}{e}$．
作出函數f（x）=|x|•e^x（x≠0）的圖象的大致形狀：

令f（x）=t，則方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$化為$t+\frac{2}{t}-λ=0$，
即t²-λt+2=0，
要使關于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四個相異實根，
則方程t²-λt+2=0的兩根一個在（0，$\frac{1}{e}$），一個在（$\frac{1}{e}，+∞$）之間．
則$\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{λ}{e}+2＜0$，解得λ＞2e+$\frac{1}{e}$．
∴實數λ的取值范圍是（2e+$\frac{1}{e}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查利用導數求極值，考查數學轉化思想方法及數形結合的解題思想方法，是中檔題．