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11.已知函數f(x)=|x|•ex(x≠0),其中e為自然對數的底數,關于x的方程$f(x)+\frac{2}{f(x)}-λ=0$有四個相異實根,則實數λ的取值范圍是( 。
A.$({0,\frac{1}{e}})$B.$({2\sqrt{2},+∞})$C.$({e+\frac{2}{e},+∞})$D.$({2e+\frac{1}{e},+∞})$

分析 寫出分段函數,利用導數研究單調性和極值,畫出圖形的大致形狀,結合關于x的方程$f(x)+\frac{2}{f(x)}-λ=0$有四個相異實根列式求得實數λ的取值范圍.

解答 解:f(x)=|x|•ex=$\left\{\begin{array}{l}{x•{e}^{x},x>0}\\{-x•{e}^{x},x<0}\end{array}\right.$.
當x>0時,由f(x)=x•ex,得f′(x)=ex+x•ex=ex(x+1)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上為增函數;
當x<0時,由f(x)=-x•ex,得f′(x)=-ex-x•ex=-ex(x+1).
當x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0,當x∈(-1,0)時,f′(x)<0,
∴當x=-1時,函數f(x)取得極大值為f(-1)=$\frac{1}{e}$.
作出函數f(x)=|x|•ex(x≠0)的圖象的大致形狀:

令f(x)=t,則方程$f(x)+\frac{2}{f(x)}-λ=0$化為$t+\frac{2}{t}-λ=0$,
即t2-λt+2=0,
要使關于x的方程$f(x)+\frac{2}{f(x)}-λ=0$有四個相異實根,
則方程t2-λt+2=0的兩根一個在(0,$\frac{1}{e}$),一個在($\frac{1}{e},+∞$)之間.
則$\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{λ}{e}+2<0$,解得λ>2e+$\frac{1}{e}$.
∴實數λ的取值范圍是(2e+$\frac{1}{e}$,+∞).
故選:D.

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷,考查利用導數求極值,考查數學轉化思想方法及數形結合的解題思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
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