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2.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的一個最高點坐標為(1,2),相鄰的對稱軸與對稱中心間的距離為2,則下列結論正確的是(  )
A.f(x)的圖象關于(2,0)中心對稱B.f(x)的圖象關于直線x=3對稱
C.f(x)在區間(2,3)上單調遞增D.f(2017)=2

分析 利用正弦函數的圖象的特征求得ω和φ的值,可得函數的解析式,再利用正弦函數的圖象的對稱性、正弦函數的周期性和單調性,逐一判斷各個選項是否正確,從而得出結論.

解答 解:∵函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的一個最高點坐標為(1,2),
故有A=2,2sin(ω+φ)=2,
∴ω+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈N*  ①.
∵函數的圖象相鄰的對稱軸與對稱中心間的距離為2,$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=2,
∴ω=$\frac{π}{4}$,φ的最小正值為$\frac{π}{4}$,f(x)=2sin($\frac{πx}{4}$+$\frac{π}{4}$),
故當x=2時,f(x)=$\sqrt{2}$,故排除A;
當x=3時,f(x)=0,故排除B;
在區間(2,3)上,$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$∈($\frac{3π}{4}$,π),函數f(x)單調遞減,故排除C;
f(2017)=2sin($\frac{2017π}{4}$+$\frac{π}{4}$)=2sin(504π+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$)=2sin$\frac{π}{2}$=2,故D正確,
故選:D.

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性、周期性和單調性,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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