Question

2．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的一個最高點坐標為（1，2），相鄰的對稱軸與對稱中心間的距離為2，則下列結論正確的是（　　）

• A． f（x）的圖象關于（2，0）中心對稱
• B． f（x）的圖象關于直線x=3對稱
• C． f（x）在區間（2，3）上單調遞增
• D． f（2017）=2

Answer 1

分析 利用正弦函數的圖象的特征求得ω和φ的值，可得函數的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性、正弦函數的周期性和單調性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答 解：∵函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的一個最高點坐標為（1，2），
故有A=2，2sin（ω+φ）=2，
∴ω+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N^*  ①．
∵函數的圖象相鄰的對稱軸與對稱中心間的距離為2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=2，
∴ω=$\frac{π}{4}$，φ的最小正值為$\frac{π}{4}$，f（x）=2sin（$\frac{πx}{4}$+$\frac{π}{4}$），
故當x=2時，f（x）=$\sqrt{2}$，故排除A；
當x=3時，f（x）=0，故排除B；
在區間（2，3）上，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），函數f（x）單調遞減，故排除C；
f（2017）=2sin（$\frac{2017π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sin（504π+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{2}$=2，故D正確，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性、周期性和單調性，屬于基礎題．