Question

6．復數z滿足z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，求|z|的最大值．

Answer 1

分析 設z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}=a-bi$，代入z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，得（a+1）²+（b+2）²=8．則z在復平面內所對應點的軌跡為以（-1，-2）為圓心，以$2\sqrt{2}$為半徑的圓．數形結合求|z|的最大值．

解答 解：設z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}=a-bi$，
代入z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，得
（a²+b²+2a+4b）+（b-2a-b+2a）i=3，
即a²+b²+2a+4b=3，化為（a+1）²+（b+2）²=8．
∴z在復平面內所對應點的軌跡為以（-1，-2）為圓心，
以$2\sqrt{2}$為半徑的圓．
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
則|z|的最大值為$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}+2\sqrt{2}=\sqrt{5}+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是中檔題．