Question

8．已知數列{a_n}是首項為2018，公比為2018的等比數列，設數列{$\frac{1}{lo{g}_{2018}{a}_{n}•lo{g}_{2018}{a}_{n+1}}$}的前n項和為S_n，則S₁•S₂•S₃•…S₅₁₉=$\frac{1}{520}$．

Answer 1

分析 運用等比數列的通項公式可得a_n=2018ⁿ，n∈N*，運用對數的運算性質和裂項相消求和，可得S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，再由累乘法，計算即可得到所求積．

解答 解：數列{a_n}是首項為2018，公比為2018的等比數列，
可得a_n=2018ⁿ，n∈N*，
$\frac{1}{lo{g}_{2018}{a}_{n}•lo{g}_{2018}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2018}201{8}^{n}•lo{g}_{2018}201{8}^{n+1}}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
即有則S₁•S₂•S₃•…•S₅₁₉=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{519}{520}$=$\frac{1}{520}$．
故答案為：$\frac{1}{520}$．

點評 本題考查等比數列的通項公式，以及數列的求和：裂項相消求和，對數的運算性質和累乘法，考查運算能力，屬于中檔題．