Question

18．若函數f（x）滿足：①對定義域內任意x，都有f（x）+f（-x）=0，②對定義域內任意x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則稱函數f（x）為“優美函數”．下列函數中是“優美函數”的是（　　）

• A． f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$
• B． f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$
• C． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$
• D． f（x）=tan x

Answer 1

分析 由條件知具備函數是奇函數，且在定義域上是增函數的函數是“優美函數”．結合函數奇偶性和單調性的定義分別進行判斷即可．

解答 解：由：①對定義域內任意x，都有f（x）+f（-x）=0得f（-x）=-f（x），即函數f（x）是奇函數，
由，②對定義域內任意x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，得函數在定義域上為增函數，
A．f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2-（1+{e}^{x}）}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2}{1+{e}^{x}}$-1為減函數，不滿足條件．
B．由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1），
函數y=ln（1+x）在定義域上是增函數，y=1-x是減函數，y=$\frac{1}{-x+1}$是增函數，則y=ln$\frac{1}{-x+1}$是增函數，即f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$是增函數，滿足條件．
C．當x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x²-2x+1=-（x²+2x-1）=-f（x），則函數f（x）是奇函數，作出函數f（x）的圖象如圖，則由圖象知函數在定義域上不單調，不滿足條件．
D．函數f（x）是奇函數，在定義域上不單調，不滿足條件．
故選：B．

點評 本題主要考查新定義的應用，根據條件判斷函數的奇偶性以及函數的單調性是解決本題的關鍵．