Question

6．已知函數f（x）=|x-a|-|x+3|（a∈R）．
（1）當a=-1時，解不等式f（x）≤1；
（2）若x∈[0，3]時，不等式f（x）≤4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）問題轉化為|x-a|≤x+7，由此得-7≤a≤2x+7，求出2x+7的最小值是7，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-1時，不等式可化為|x+1|-|x+3|≤1，
x≤-3時，不等式可化為-x-1+x+3≤1，即2≤1，不成立，
-3＜x＜-1時，不等式可化為-x-1-x-3≤1，解得：-$\frac{5}{2}$≤x＜-1，
x≥-1時，不等式可化為x+1-x-3≤1，即-2≤1，成立，
綜上，不等式的解集是[-$\frac{5}{2}$，+∞）；
（2）若x∈[0，3]時，不等式f（x）≤4恒成立，
即|x-a|-|x+3|≤4，x+3＞0，
即|x-a|≤x+7，
由此得-7≤a≤2x+7，
x∈[0，3]時，2x+7的最小值是7，
故a的范圍是[-7，7]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．