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13.已知關于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0,其中a∈R.
(1)若不等式的解集為(-∞,-1]∪[4,+∞),求實數a的值;
(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-5對任意實數x恒成立,求實數a的取值范圍.

分析 (1)由題意知1,4是方程ax2+(a-2)x-2=0的解,利用韋達定理即可求得實數a的值;
(2)不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-5對任意實數x恒成立,可化為(a-2)x2+(a-2)x+3≥0對任意實數x∈R恒成立,分a=2與a≠2兩類討論,即可求得實數a的取值范圍.

解答 (文科)解:(1)由題意知方程ax2+(a-2)x-2=0的解為-1,4,且a>0,…(2分)
所以-$\frac{2}{a}$=-4,解得a=$\frac{1}{2}$.…(4分)
(2)問題可化為(a-2)x2+(a-2)x+3≥0對任意實數x∈R恒成立,
①當a=2時,3≥0恒成立;  …(6分)
②當a≠2時,$\left\{\begin{array}{l}{a>2}\\{{(a-2)}^{2}-12(a-2)≤0}\end{array}\right.$,解得2<a≤14;…(12分)
綜上①②得2≤a≤14.…(14分)

點評 本題考查函數恒成立問題,考查一元二次不等式的解法,考查函數與方程思想、分類討論思想的應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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區間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]
人數25mp7525
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