Question

13．已知關于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0，其中a∈R．
（1）若不等式的解集為（-∞，-1]∪[4，+∞），求實數a的值；
（2）若不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-5對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知1，4是方程ax²+（a-2）x-2=0的解，利用韋達定理即可求得實數a的值；
（2）不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-5對任意實數x恒成立，可化為（a-2）x²+（a-2）x+3≥0對任意實數x∈R恒成立，分a=2與a≠2兩類討論，即可求得實數a的取值范圍．

解答 （文科）解：（1）由題意知方程ax²+（a-2）x-2=0的解為-1，4，且a＞0，…（2分）
所以-$\frac{2}{a}$=-4，解得a=$\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）問題可化為（a-2）x²+（a-2）x+3≥0對任意實數x∈R恒成立，
①當a=2時，3≥0恒成立；  …（6分）
②當a≠2時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{{（a-2）}^{2}-12（a-2）≤0}\end{array}\right.$，解得2＜a≤14；…（12分）
綜上①②得2≤a≤14．…（14分）

點評 本題考查函數恒成立問題，考查一元二次不等式的解法，考查函數與方程思想、分類討論思想的應用，屬于中檔題．