Question

10．下列幾個命題
①方程ax²+x+1=0有且只有一個實根的充要條件是a=$\frac{1}{4}$；
②函數y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函數，但不是奇函數；
③函數f（x）=（2x-3）²+1的圖象是由函數y=（2x-5）²+1的圖象向左平移1個單位得到的；
④命題“若x，y都是偶數，則x+y也是偶數”的逆命題為真命題；
⑤已知p，q是簡單命題，若p∨q是真命題，則p∧q也是真命題；
⑥若函數f（x）=|a^x-1|-log₂（x+2），（a＞1）有兩個零點x₁，x₂，則（x₁+2）（x₂+2）＞1．
其中正確的個數是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據充要條件的定義，可判斷①；根據函數奇偶性的定義，可判斷②；根據函數圖象的平移變換法則，可判斷③；寫出原命題的逆命題，可判斷④；根據復合命題真假判斷的真值表，可判斷⑤；分析函數零點的位置，可判斷⑥．

解答 解：①方程ax²+x+1=0有且只有一個實根的充要條件是a=$\frac{1}{4}$，或a=0，故錯誤；
②函數y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$=0，（x=±1）即是偶函數，也是奇函數，故錯誤；
③函數f（x）=（2x-3）²+1=[2（x+1）-5]²+1的圖象是由函數y=（2x-5）²+1的圖象向左平移1個單位得到的，故正確；
④命題“若x，y都是偶數，則x+y也是偶數”的逆命題為命題“若x+y是偶數，則x，y都是偶數”，是假命題，故錯誤；
⑤已知p，q是簡單命題，若p∨q是真命題，則p，q可能一真一假，此時p∧q是假命題，故錯誤；
⑥若函數f（x）=|a^x-1|-log₂（x+2），（a＞1）有兩個零點x₁，x₂，
則-1＜x₁＜0，x₁+2＞1，
x₂＞0，x₂+2＞2
則（x₁+2）（x₂+2）＞2＞1，故正確；
故選：A

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數的奇偶性，充要條件，函數的零點，四種命題的否定等知識點，難度中檔．