Question

20．已知三個共面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$兩兩所成角相等，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{3}$
• C． 5或6
• D． 6或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$兩兩所成角相等，可得兩兩所成角為0°或120°．再利用數量積運算性質即可得．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$兩兩所成角相等，
∴兩兩所成角為0°或120°．
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，
當所成角為120°時，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-3，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+2（-1-\frac{3}{2}-3）}$=$\sqrt{3}$．
當所成角為0°時，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|=1+2+3=6．
故選：D．

點評 本題考查了數量積運算性質、向量夾角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．