Question

18．在數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，數列{a_na_n+1}是公比為（q＞0）的等比數列，則數列{a_n}的前2n項和S_2n=$\frac{3（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

Answer 1

分析 根據題意，由數列{a_na_n+1}是公比為（q＞0）的等比數列，可得$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q，結合數列{a_n}的前2項，可得數列{a_n}的通項公式，進而利用分組求和法計算可得答案．

解答 解：根據題意，數列{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，
則$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q，
故對于數列{a_n}，有a₁=1，a₂=2，
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1×{q}^{\frac{n-1}{2}}}n為奇數\\{2×{q}^{\frac{n-2}{2}}}n為偶數\end{array}\right.$，
數列{a_n}的前2n項和S_2n=（a₁+a₃+…a_2n-1）+（a₂+a₄+…a_2n）=$\frac{1×（1-{q}^{n}）}{1-q}$+$\frac{2×（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{3（1-{q}^{n}）}{1-q}$；
故答案為：$\frac{3（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

點評 本題考查數列的前n項和的計算，涉及等比數列的通項公式，關鍵是明確數列{a_na_n+1}是等比數列分析得到數列{a_n}的通項．