Question

6．已知函數f（x）=2x²+mx-1，m為實數．
（1）已知對任意的實數f（x），都有f（x）=f（2-x）成立，設集合A={y|y=f（x），x∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$]}，求集合A．
（2）記所有負數的集合為R^-，且R^-∩{y|y=f（x）+2}=∅，求所有符合條件的m的集合；
（3）設g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的對稱軸，然后求解函數的最值即可．
（2）利用函數恒成立，通過判別式求解即可．
（3）化簡函數的表達式，通過a與x討論求解即可．

解答 解：（1）對于x∈R都有f（x）-f（2-x）=0，所以f（x）圖象關于直線x=1對稱，所以$-\frac{m}{4}=1$，
∴m=-4，所以f（x）=2（x-1）²-3為減函數，
$f{（x）_{max}}=-2\sqrt{2}，f{（x）_{max}}=2\sqrt{2}$，
∴$A=[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$；
（2）由題意y=f（x）+2≥0在R上恒成立，即2x²+mx+1≥0在R上恒成立，
∴△=m²-8≤0，∴$\left\{{m|-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}}\right\}$；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），∴φ（x）=x²+|x-a|-1；
①當x≤a時，$φ（x）={x^2}-x+a-1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+a-\frac{5}{4}$，當$a≤\frac{1}{2}$，則函數φ（x）在（-∞，a]上單調遞減，從而函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（a）=a²-1，若$a＞\frac{1}{2}$，函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值$φ（{\frac{1}{2}}）=a-\frac{5}{4}$，且$φ（{\frac{1}{2}}）=a-\frac{5}{4}$，且$φ（{\frac{1}{2}}）≤φ（a）$；
②當x＞a時，函數$φ（x）={x^2}+x-a-1={（{x+\frac{1}{2}}）^2}-a-\frac{5}{4}$，$a≥-\frac{1}{2}$時，函數φ（x）在（a，+∞）上單調增，∴φ（x）_min=φ（a）=a-1，
當$a＜-\frac{1}{2}$時，φ（x）在$（{a，-\frac{1}{2}}）$上單調減，在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上單調增，
∴$φ{（x）_{min}}=φ（{-\frac{1}{2}}）=-a-\frac{5}{4}$．

點評 本題考查函數恒成立，二次函數的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．