Question

12．在△ABC中，交A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且c=acosB+bsinA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面積的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦函數化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出A；
（Ⅱ）由條件和余弦定理列出方程化簡后，由不等式求出bc的范圍，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，c=acosB+bsinA，
由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，
∵sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，
化簡得，sinBcosA=sinBsinA，
∵sinB＞0，∴cosA=sinA，則tanA=1，
由0＜A＜π得A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵a=2$\sqrt{2}$，A=$\frac{π}{4}$，∴由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA，則$8=^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc$，
即$8≥2bc-\sqrt{2}bc$，解得bc≤$4（2+\sqrt{2}）$，當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{2}}{4}bc≤2\sqrt{2}+2$，
∴△ABC的面積的最大值是$2\sqrt{2}+2$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，誘導公式、兩角和的正弦函數等，以及不等式在求出最值中的應用，考查化簡、變形能力．