Question

20．在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若A滿足2cos²A+cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若c=3，△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角恒等變換化簡2cos²A+cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
結合A的取值范圍，即可求出A的值；
（Ⅱ）根據△ABC的面積公式求出b的值，再利用余弦定理求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，2cos²A+cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2•$\frac{1+cos2A}{2}$+cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
即1+cos2A+cos2Acos$\frac{π}{3}$-sin2Asin$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{3}{2}$cos2A=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又△ABC是銳角三角形，∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，
解得A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）c=3，且△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3b}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
解得b=4；
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=4²+3²-2×4×3×$\frac{1}{2}$=13，
解得a=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了正弦、余弦定理的應用問題，也考查了三角恒等變換問題，是綜合性題目．