Question

10．若（1+2x）ⁿ（n∈N^*）二項式展開式中的各項系數之和為a_n，其二項式系數之和為b_n，則$\lim_{n→∞}\frac{{{b_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_{n+1}}+{b_n}}}$=$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令x=1，可得二項式展開式中的各項系數之和為a_n=3ⁿ．又二項式系數之和為b_n=2ⁿ．利用極限的運算性質即可得出．

解答 解：令x=1，可得二項式展開式中的各項系數之和為a_n=3ⁿ．
又二項式系數之和為b_n=2ⁿ．
∴$\lim_{n→∞}\frac{{{b_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_{n+1}}+{b_n}}}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{2}^{n+1}-{3}^{n}}{{3}^{n+1}+{2}^{n}}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{2×（\frac{2}{3}）^{n}-1}{3+（\frac{2}{3}）^{n}}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：$-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了二項式定理的性質、極限的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．