Question

2．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當x＞0時，f（x）=e^-x（x-1）；
②函數f（x）有2個零點；
③f（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1），
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．
其中正確命題的個數是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據f（x）為奇函數，設x＞0，得-x＜0，可求出f（x）=e^-x（x-1）判定①正確；
由f（x）解析式求出-1，1，0都是f（x）的零點，判定②錯誤；
由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判斷③正確；
分別對x＜0和x＞0時的f（x）求導，根據導數符號判斷f（x）的單調性，
根據單調性求f（x）的值域，可得?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，判定④正確．

解答 解：對于①，f（x）為R上的奇函數，設x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），∴f（x）=e^-x（x-1），①正確；
對于②，∵f（-1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，
∴f（x）有3個零點，②錯誤；
對于③，x＜0時，f（x）=e^x（x+1），易得x＜-1時，f（x）＜0；
x＞0時，f（x）=e^-x（x-1），易得0＜x＜1時，f（x）＜0；
∴f（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）；③正確；
對于④，x＜0時，f′（x）=e^x（x+2），得
x＜-2時，f′（x）＜0，-2＜x＜0時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（-2，0）上單調遞增；
∴x=-2時，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2時，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
x＞0時，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；
x=2時，f（x）取最大值e^-2，且x＞2時，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域為（-1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；④正確；
綜上，正確的命題是①③④，共3個．
故選：B．

點評 本題考查了奇函數的定義與應用問題，也考查了函數的零點以及不等式的解集、根據導數符號判斷函數單調性和求函數最值、求函數值域的方法，是綜合性題目．