Question

7．如圖，在四棱錐中P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M為CD的中點，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥PM；
（2）若∠APD=90°，PA=$\sqrt{2}$，求點A到平面PBM的距離．

Answer 1

分析 （1）取AD中點E，連接PE，EM，AC，證明：BD⊥平面PEM，即可證明BD⊥PM；
（2）利用等體積方法，求點A到平面PBM的距離．

解答 （1）證明：取AD中點E，連接PE，EM，AC，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，M分別是AD，DC的中點，
∴EM∥AC，
∴EM⊥BD．
∵PA=AD，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BD，
∵EM∩PE=E，
∴BD⊥平面PEM，
∵PM?平面PEM，
∴BD⊥PM．
（2）解：∵PA=PD=$\sqrt{2}$，∠APD=90°，∠DAB=60°，
∴AD=AB=BD=2，PE=1，EM=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$，
∴PM=PB=$\sqrt{1+3}$=2．
等邊三角形DBC中，BM=$\sqrt{3}$，∴S_△PBM=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，S_△ABM=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
設三棱錐A-PBM的高為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{39}}{4}h=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•1$，
∴h=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
∴點A到平面PBM的距離為$\frac{4\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面距離的計算，考查等體積方法的運用，屬于中檔題．