Question

17．已知數列{a_n}、{b_n}滿足b_n=log₂a_n，n∈N₊，其中{b_n}是等差數列，且a₉a₂₀₀₉=4，則b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₇=（　�。�

• A． 2016
• B． 2017
• C． log₂2017
• D． $\frac{2017}{2}$

Answer 1

分析 由已知得a_n=2${\;}^{_{n}}$，計算$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$可判斷{a_n}為等比數列，于是a₁a₂₀₁₇=a₉a₂₀₀₉=4，從而得出b₁+b₂₀₁₇=2，代入等差數列的求和公式即可．

解答 解：設{b_n}的公差為d，
∵b_n=log₂a_n，∴a_n=2${\;}^{_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=2${\;}^{_{n+1}-_{n}}$=2^d．
∴{a_n}是等比數列，
∴a₁a₂₀₁₇=a₉a₂₀₀₉=4，
即2${\;}^{_{1}}$•2${\;}^{_{2017}}$=2${\;}^{_{1}+_{2017}}$=4，
∴b₁+b₂₀₁₇=2，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₇=$\frac{_{1}+_{2017}}{2}×2017$=2017．
故選B．

點評 本題考查了等差數列，等比數列的性質，前n項和公式，屬于中檔題．