Question

9．如圖，矩形ACEF和等邊三角形ABC中，AC=2，CE=1，平面ABC⊥平面ACEF．
（1）在EF上找一點M，使BM⊥AC，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面ABM與平面CBE所成銳二面角余弦值．

Answer 1

分析 （1）分別取AC、EF的中點O、M，連接OM，推導出AC⊥BO，AC⊥OM，從而AC⊥面BOM，由此能證明BM⊥AC．
（2）由OA，OB，OM兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系O-xyz，由此能求出平面MAB與平面BCE所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）M為線段EF的中點，理由如下：
分別取AC、EF的中點O、M，連接OM，
在等邊三角形ABC中，AC⊥BO，
又OM為矩形ACEF的中位線，AC⊥OM，
而OM∩OB=O，
∴AC⊥面BOM，∴BM⊥AC．
（2）由（1）知OA，OB，OM兩兩互相垂直，
建立空間直角坐標系O-xyz如圖所示，
AC=2，CE=1，三角形ABC為等邊三角形，$O（{0，0，0}），B（{0，\sqrt{3}，0}），C（{-1，0，0}），E（{-1，0，1}），A（{1，0，0}），F（{1，0，1}）$．
∴$\overrightarrow{CB}=（{1，\sqrt{3}，0}），\overrightarrow{CE}=（{0，0，1}）$，
設面BCE的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{z=0}\end{array}}\right.$，
則面BCE的一個法向量$\overrightarrow{n_0}=（{\sqrt{3}，-1，0}）$，
又M是線段EF的中點，
則M的坐標為M（0，0，1），
∴$\overrightarrow{AM}=（{-1，0，1}）$，且$\overrightarrow{AB}=（{-1，\sqrt{3}，0}）$，
又設面ABM的法向量$\overrightarrow m=（{a，b，c}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-a+c=0}\\{-a+\sqrt{3}b=0}\end{array}}\right.$，
取$a=\sqrt{3}$，則$b=1，c=\sqrt{3}$，
面ABM的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
平面MAB與平面BCE所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．