Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求平面CA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛A₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的性質(zhì)；
（Ⅱ）推導(dǎo)出∠C₁A₁C是二面角C-A₁B₁-C₁的平面角，由此能求出平面CA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的大小．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛A₁C₁C為正方形，
所以AA₁⊥AC．
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA₁C₁C，
且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
所以AA₁⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）因?yàn)锳A₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AB．
又因?yàn)锳C⊥AB，所以AB⊥平面AA₁C₁C，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，
所以A₁B₁⊥A₁C₁，A₁B₁⊥A₁C，
所以∠C₁A₁C是二面角C-A₁B₁-C₁的平面角．
由題意得tan∠C₁A₁C=$\frac{{C}_{1}C}{{C}_{1}{A}_{1}}$=1，
所以二面角C-A₁B₁-C₁的平面角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，考查二面角的定義，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中平行與垂直的合理運(yùn)用．