Question

9．設曲線C：f（x）=x³-ax+b（a，b∈R）．
（1）若函數g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x存在單調遞減區間，求a的取值范圍（f′（x）為f（x）的導函數）
（2）若過曲線C外的點A（1，0）作曲線C的切線恰有三條，求a，b滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x³-ax+b（a，b∈R），我們易求出函數的導函數f′（x），進而給出函數g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x的解析式，若函數g（x）存調遞減區間，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，構造函數h（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，求出其最小值，即可得到答案．
（2）由（1）中導函數f′（x）的解析式，我們設出切點坐標，則可以得到直線的切線方程，由于切線過A點，將A點坐標代入即可得到關于參數的方程，又由已知中過點A（1，0）的曲線C的切線恰有三條，則對應方程恰有三個不同的根，構造函數后，可以轉化為函數恰有三個零點，結合三次函數的圖象性質，判斷出函數的極小值小于0，極大值大于0，構造關于參數的方程組，解方程組，即可得到答案．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-a，
∴g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x=lnx-$\frac{a}{2}$x²-2x（x＞0）
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2
若使g（x） 存在單調減區間，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，
即a＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上有解，
設h（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
則h（x）的最小值為-1，
若a＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上有解，
則a＞-1；
（2）∵f′（x）=3x²-a，
過點A（1，0）作曲線C的切線，設切點坐標為（c，f（c））
則切線方程為 y-（c³-ac+b）=（3c²-a）（x-a）
即y=（3c²-a）x-2c³+b
又∵切線過A（1，0）點
則（3c²-a）-2c³+b=0
即-2c³+3c²-a+b=0
又由過點A（1，0）的曲線C的切線恰有三條，
∴方程-2c³+3c²-a+b=0恰好有三個根，
令h（c）=-2c³+3c²-a+b
則h′（c）=-6c²+6c
則函數h（c）=-2c³+3c²-a+b在c=0時取極小值，在c=1時取極大值，
若方程-2c³+3c²-a+b=0恰好有三個根，
則h（0）=-a+b＜0，h（1）=1-a+b＞0
即a，b滿足的關系式為0＜a-b＜1．

點評 本題考查的知識點是利用民數研究曲線上某點的切線方程，利用導數研究函數的單調性，其中根據函數的解析式，求出導函數的解析式是解答本題的關鍵．