Question

19．定義在R上的偶函數f（x-2），當x＞-2時，f（x）=e^x+1-2（e為自然對數的底數），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的實數根x₀∈（k-1，k），則k的取值集合是{-3，0}．

Answer 1

分析 由偶函數f（x-2）可得函數y=f（x）的圖象關于=-2對稱，結合函數f（x）的單調性，利用根的存在性定理判斷根的范圍即可得到結論．

解答 解：∵偶函數f（x-2）的圖關于y軸對稱
∴函數y=f（x）的圖象關于x=-2對稱
∵當x＞-2時，f（x）=e^x+1-2
∵f（x）=e^x+1-2在（-2，+∞）單調遞增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0
由零點存在定理可知，函數f（x）=e^x+1-2在（-1，0）上存在零點
由函數圖象的對稱性可知，當x＜-2時，存在唯一零點x∈（-4，-3）
由題意方程f（x）=0的實數根x₀∈（k-1，k），則k-1=-4或k-1=-1
k=-3或k=0
故k的取值集合是{-3，0}，
故答案為：{-3，0}

點評 本題考查的知識點是偶函數圖象對稱性質的應用，根的存在性及根的個數判斷，方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵．