Question

18．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求證：DE⊥平面ABE；
（3）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB∥CD，由此能證明AB∥平面CDE．
（2）推導(dǎo)出AE⊥CD，DE⊥AE，從而CD⊥DE，再由DE⊥AB，能證明DE⊥平面ABE．
（3）由AB⊥平面ADE，能求出三棱錐B-ADE的體積．再由V_A-BDE=V_B-ADE，能求出點(diǎn)A到平面BDE的距離．

解答 證明：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
AB?平面CDE，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE．
（2）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥CD，DE⊥AE，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵DE?平面ADE，∴CD⊥DE，
∵AB∥CD，∴DE⊥AB，
∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE．
解：（3）∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADE，
∴三棱錐B-ADE的體積V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}×AB$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{4-1}×1）×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4-1}×\sqrt{4+1}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為d，
∵V_A-BDE=V_B-ADE，∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}d$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)A到平面BDE的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．