Question

3．設數列{a_n}滿足：a₁=1，3a₂-a₁=1，且$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$（n≥2）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列b₁=$\frac{1}{2}$，4b_n=a_n-1a_n，設{b_n}的前n項和T_n．證明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\frac{2}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}$，從而推導出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用錯位相減法能證明T_n＜1．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足：a₁=1，3a₂-a₁=1，且$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$（n≥2），
∴$\frac{2}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}$，…（1分）
又a₁=1，3a₂-a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1，\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數列，…（5分）
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）=\frac{1}{2}（n+1）$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．…（7分）
（Ⅱ）證明：∵數列b₁=$\frac{1}{2}$，4b_n=a_n-1a_n，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$1-\frac{1}{n+1}$＜1．
故T_n＜1．…（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和小于1的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．