Question

11．已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（-π＜φ＜0，ω＞0）的圖象關于直線$x=\frac{π}{6}$對稱，且兩相鄰對稱中心之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間$[0，\frac{π}{2}]$上總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接求解函數的周期，利用函數的對稱性，列出方程求解φ，然后利用正弦函數的單調增區間求解即可．
（2）轉化求解函數的值域，利用對數的運算法則，化簡求解即可．

解答 解：（1）周期T=π，所以ω=2，當$x=\frac{π}{6}$時，$2•\frac{π}{6}+φ=kπ+\frac{π}{2}$，（2分）
得$φ=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$，又-π＜φ＜0，所以取k=-1，得$φ=-\frac{5π}{6}$（2分）
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{5π}{6}）$，（1分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{5π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2}{3}π$，k∈Z
所以函數y=f（x）的單調遞增區間是得$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2}{3}π]$（k∈Z），（2分）
（2）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{5π}{6}≤\frac{π}{6}$，所以$f（x）=2sin（2x-\frac{5π}{6}）∈[-2，1]$，（2分）
所以log₂k=-f（x）∈[-1，2]，得$k∈[\frac{1}{2}，4]$． （3分）

點評 本題考查函數與方程的應用，三角函數的最值，周期意見解析式的求法，考查轉化思想以及計算能力．