Question

2．已知A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$．
（1）求A²，A³，A²⁰¹⁴．
（2）若n階方陣B=$[\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}&{0}&{…}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{…}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{…}&{0}\\{…}&{…}&{…}&{…}&{…}&{…}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{…}&{1}\\{1}&{0}&{0}&{0}&{…}&{0}\end{array}]$（左下角1的余子式為n-1階單位矩陣），試求出B^k（k∈N^*）．
（3）若C=$（\begin{array}{l}{{c}_{0}}&{{c}_{1}}&{{c}_{2}}\\{{c}_{2}}&{{c}_{0}}&{{c}_{1}}\\{{c}_{1}}&{{c}_{2}}&{{c}_{0}}\end{array}）$，則稱此矩陣為三階循環矩陣，請你參考（1）的計算過程證明兩個三階循環矩陣的乘積仍為三階循環矩陣．三階循環矩陣的乘法是否滿足交換律？如果是，請說明理由，如果不是，請舉出反例．

Answer 1

分析 （1）利用矩陣乘法公式能求出A²，A³，A²⁰¹⁴．
（2）用數學歸納法可以證明若k=np+q，p∈N，0≤q＜n，B^k=$（\begin{array}{l}{O}&{{I}_{n-q}}\\{{I}_{q}}&{O}\end{array}）$．
（3）若C，D為三階循環矩陣，滿足交換律CD=DC．

解答 解：（1）∵A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$，
∴A²=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{array}）$．
A³=$（\begin{array}{l}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}）$．
∴A⁴=A，
∵2014=671×3+1，
∴A²⁰¹⁴=A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$．
（2）用數學歸納法可以證明若k=np+q，p∈N，0≤q＜n，
B^k=$（\begin{array}{l}{O}&{{I}_{n-q}}\\{{I}_{q}}&{O}\end{array}）$，這里O為零矩陣，I_q，I_n-q為q，n-q階單位矩陣．
（3）若C，D為三階循環矩陣，
$C={c}_{0}I+{c}_{1}A+{c}_{2}{A}^{2}$，
D=$p9vv5xb5_{0}I+p9vv5xb5_{1}A+p9vv5xb5_{2}{A}^{2}$，
滿足交換律CD=DC=（c₀d₀+c₁d₂+c₂d₁）I+（c₀d₁+c₁d₀+c₂d₂）A+（c₀d₂+c₁d₁+c₂d₀）A²．

點評 本題考查矩陣的運算及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意矩陣乘法運算法則的合理運用．