Question

11．若函數f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若方程f（x）+b=0在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，求b的取值范圍；
（3）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，再向下平移1個單位得到函數y=g（x）的圖象．
①若y=g（ωx）的圖象在（-2π，0）上單調遞增，求ω的取值范圍；
②若方程g（ωx）=2在（0，2π）上至少存在三個根，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式可求f（x）=1-2sin（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的單調遞增區間．
（2）由題意可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，由2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，利用正弦函數的性質可得2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b∈[-2，$\sqrt{3}$]，進而解得b的范圍．
（3）利用三角函數圖象變換規律可得g（x）=-2sin2x，①由題意可得$\frac{2π}{2ω}$≥2×2π，即可解得ω的范圍；
②由題意可得函數y=sin2ωx在區間（0，2π）上恰有三個取得最小值-1的點，利用正弦函數的圖象和性質可求$\frac{7T}{2}$≤2π＜$\frac{9T}{2}$，根據三角函數周期公式可求ω的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1=1-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區間為：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵若方程f（x）+b=0在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，
∴1-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+b=0在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，
可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b，在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，
∴由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴解得：b∈[-3，$\sqrt{3}$-1]．
（3）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，可得函數y=1-2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=1-2sin2x，
再向下平移1個單位得到函數y=g（x）=-2sin2x，
①由題意可得：y=g（ωx）=-2sin2ωx的圖象在（-2π，0）上單調遞增，
∴$\frac{2π}{2ω}$≥2×2π，解得：ω≤$\frac{1}{4}$，
②∵-2sin2ωx=2，可得：sin2ωx=-1，
由題意，方程sin2ωx=-1在（0，2π）上至少存在三個根，
即函數y=sin2ωx在區間（0，2π）上恰有三個取得最小值-1的點，
∴$\frac{7T}{2}$≤2π＜$\frac{9T}{2}$，求得：$\frac{4π}{9}$＜T≤$\frac{4π}{7}$，即：$\frac{4π}{9}$＜$\frac{2π}{2ω}$≤$\frac{4π}{7}$，解得：$\frac{7}{4}$≤ω＜$\frac{9}{4}$．
即ω的取值范圍為：$\frac{7}{4}$≤ω＜$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象特征和性質，正弦函數的最值，函數的零點，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．