Question

1．已知無窮數列{c_n}滿足c_n+1=|1-|1-2c_n||．
（Ⅰ）若c₁=$\frac{1}{7}$，寫出數列{c_n}的前4項；
（Ⅱ）對于任意0＜c₁≤1，是否存在實數M，使數列{c_n}中的所有項均不大于M？若存在，求M的最小值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）當c₁為有理數，且c₁≥0時，若數列{c_n}自某項后是周期數列，寫出c₁的最大值．（直接寫出結果，無需證明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c₁=$\frac{1}{7}$代入遞推式，計算即可得到所求；
（Ⅱ）存在滿足題意的實數M，且M的最小值為1．
方法一：猜想0≤c_n≤1，下面用數學歸納法進行證明．先證n=1成立；假設n=k成立．推得n=k+1也成立；
方法二、運用反證法．當n≥2時，若存在k=2，3，4…，滿足c_k-1＜1，且c_k＞1．推理得到矛盾，即可得到結論；
（Ⅲ）根據周期數列概念，可得最大值為2．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）$\frac{1}{7}，\frac{2}{7}，\frac{4}{7}，\frac{6}{7}，\frac{2}{7}$…．（4分）
（Ⅱ）存在滿足題意的實數M，且M的最小值為1．
解法一：猜想0≤c_n≤1，下面用數學歸納法進行證明．
（1）當n=1時，0≤c₁≤1，結論成立．
（2）假設當n=k（k∈N^*）時結論成立，即0≤c_k≤1，
當n=k+1時，0≤2c_k≤2，所以-1≤1-2c_k≤1，
即0≤|1-2c_k|≤1，所以0≤1-|1-2c_k|≤1，
故0≤|1-|1-2c_k||≤1．
又因為c_k+1=|1-|1-2c_k||，
所以0≤c_k+1≤1，
所以n=k+1時結論也成立．
綜上，由（1），（2）知，0≤c_n≤1成立
所以M≥1，當${c_1}=\frac{1}{2}$時，可得當n≥2時，c_n=1，此時，M的最小值為1
故M的最小值為1．
解法二：當n≥2時，若存在k=2，3，4…，滿足c_k-1＜1，且c_k＞1．
顯然${c_{k-1}}≠0，\frac{1}{2}，1$，則$\frac{1}{2}＜{c_{k-1}}＜1$時，c_k=2-2c_k-1＜1與c_k＞1矛盾；
$0＜{c_{k-1}}＜\frac{1}{2}$時，c_k=2c_k-1＜1與c_k＞1矛盾；
所以0≤c_n≤1（n≥2）
所以M≥1，當${c_1}=\frac{1}{2}$時，可得當n≥2時，c_n=1，此時，M的最小值為1．
故M的最小值為1．…（10分）
（Ⅲ）2…（13分）

點評 本題考查數學歸納法的證明，考查存在性問題的解法，注意數學歸納法證明的步驟，由n=k成立，證得n=k+1也成立是解題的關鍵，屬于中檔題．