Question

16．已知函數f（x）=|lnx|，設x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）．
（1）求$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}$的值；
（2）若x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）＞M對任意滿足條件的x₁，x₂恒成立，求實數M的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據對數的運算性質，可得lnx₁=-lnx₂，進而得到x₁x₂=1，進而得到$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}$的值；
（2）不妨令x₂＞1，則x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂+2lnx₂＞M恒成立，令g（x）=$\frac{1}{x}$+x+2lnx，x＞1，可得答案

解答 解：（1）∵函數f（x）=|lnx|，x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）．
∴lnx₁=-lnx₂，即lnx₁+lnx₂=ln（x₁•x₂）=0，
即x₁x₂=1，
∴$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}$=0
（2）不妨令x₂＞1，
則x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂+2lnx₂＞M恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{x}$+x+2lnx，x＞1，
則g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+1+$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
則g（x）在（1，+∞）上恒成立，
由g（1）=2，可得M≤2，
即M的最大值為2

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，對數函數的圖象和性質，熟練掌握對數函數的圖象和性質是解答的關鍵．