Question

8．已知O為原點，過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）上的點P作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點分別為A，B，平行四邊形OBPA的面積為2，則此雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． y=±$\frac{1}{4}$x
• B． y=±$\frac{1}{3}$x
• C． y=±$\frac{1}{2}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 利用待定系數法求出求出|OB|，P點到OB的距離，利用平行四邊形OBPA的面積，求出a，可得c，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為x±ay=0，
設P（m，n）是雙曲線上任一點，
過P平行于OB：x+ay=0的方程為x+ay+t=0，
∵直線過P（m，n），
∴m+an+t=0，即t=-m-an，
即過P平行于OB：x+ay=0的方程為x+ay-m-an=0，
與OA方程：x-ay=0交點是A（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），
|OA|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$，P點到OA的距離是：
d=$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∵平行四邊形OAPB的面積為2，
∴|OA|•d=2
∴|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$•$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=2，
即$\frac{|{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{a}$=4，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-{n}^{2}=1$，∴$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
即m²-a²n²=a²，代入得$\frac{{a}^{2}}{a}$=4，
∴a=4，
則雙曲線的漸近線方程為y=y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{1}{4}$x，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線漸近線方程的計算，根據平行四邊形的面積公式建立方程關系求出a是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．