Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x{e^x}（x＜0）\\-2x（x≥0）\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個零點，則m的取值范圍是（-$\frac{1}{e}$，0）．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=m有3個不同實數(shù)根．畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象即可得到所求m的范圍．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個零點，
即為f（x）=m有3個不同實數(shù)根．
當(dāng)x≥0時，f（x）=-2x≤0；
當(dāng)x＜0時，f（x）=xe^x，導(dǎo)數(shù)f′（x）=（1+x）e^x，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）在x＜0時由最小值，且為-$\frac{1}{e}$．
畫出f（x）的圖象，可得
當(dāng)-$\frac{1}{e}$＜m＜0，函數(shù)f（x）和直線y=m有3個交點，
函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個零點．
故答案為：（-$\frac{1}{e}$，0）．

點評 不同考查函數(shù)零點個數(shù)問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．