Question

11．若雙曲線上存在點P，使得P到兩個焦點的距離之比為2：1，則稱此雙曲線存在“L點”，下列雙曲線中存在“L點”的是（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{15}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$

Answer 1

分析 驗證四個答案中哪一個符合題干中的條件：存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2：1．

解答 解：若雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
則雙曲線的兩個焦點為F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0）．
設P（x，y）則
|PF₁|²=（x+$\sqrt{5}$）²+y²，
|PF₂|²=（x-$\sqrt{5}$）²+y²，
∴（x+$\sqrt{5}$）²+y²=4[（x-$\sqrt{5}$）²+y²]②
又x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1②
①②聯立，解得
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9\sqrt{5}}{15}}\\{y=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9\sqrt{5}}{15}}\\{y=-\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
則存在點P（$\frac{9\sqrt{5}}{15}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{9\sqrt{5}}{15}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）使得|PF₁|：|PF₂|=2：1
即雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1存在“L點”，
故選：A．

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．