Question

19．已知：θ為第一象限角，$\overrightarrow{a}$=（sin（θ-π），1），$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{π}{2}$-θ），-$\frac{1}{2}$），
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\frac{sinθ+3cosθ}{sinθ-cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，求sinθ+cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理可得$\frac{1}{2}$sinθ=cosθ，解得tanθ．再利用弦化切即可得解．
（2）利用平面向量的坐標運算可求2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，進而計算得解sinθ+cosθ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sin（θ-π），1），$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{π}{2}$-θ），-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴-$\frac{1}{2}$sin（θ-π）=sin（$\frac{π}{2}$-θ），可得：$\frac{1}{2}$sinθ=cosθ
又∵θ為第一象限角，可得：tanθ=2，
∴$\frac{sinθ+3cosθ}{sinθ-cosθ}$=$\frac{tanθ+3}{tanθ-1}$=5．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cosθ-sinθ，$\frac{1}{2}$），
∴（cosθ-sinθ）²+（$\frac{1}{2}$）²=1，解得：2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，
∴sinθ+cosθ=$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查了平面向量共線定理，平面向量的坐標運算，同角三角函數基本關系式的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．