Question

4．已知不等式|x+3|-2x-1＜0的解集為（x₀，+∞）
（Ⅰ）求x₀的值；
（Ⅱ）若函數f（x）=|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|-x₀（m＞0）有零點，求實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式轉化為$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）-2x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3-2x-1＜0}\end{array}\right.$，解得x＞2，即可求x₀的值；
（Ⅱ）由題意，等價于|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|=2（m＞0）有解，結合基本不等式，即可求實數m的值．

解答 解：（Ⅰ）不等式轉化為$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）-2x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞2，∴x₀=2；
（Ⅱ）由題意，等價于|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|=2（m＞0）有解，
∵|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|≥m+$\frac{1}{m}$，當且僅當（x-m）（x+$\frac{1}{m}$）≤0時取等號，
∵|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|=2（m＞0）有解，
∴m+$\frac{1}{m}$≤2，
∵m+$\frac{1}{m}$≥2，
∴m+$\frac{1}{m}$=2，∴m=1．

點評 本題考查不等式的解法，考查絕對值不等式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．