Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F₂，過F₂作其中一條漸近線的垂線，分別交y軸和該漸近線于M，N兩點，且$\overrightarrow{MN}$=3$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設漸近線的方程為y=$\frac{a}$x，過N作x軸的垂線，垂足為P，根據向量關系建立長度關系進行求解即可．

解答 解：設漸近線的方程為y=$\frac{a}$x，過N作x軸的垂線，垂足為P，
由$\overrightarrow{MN}$=3$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，得$\frac{|{F}_{2}P|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{|{F}_{2}N|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{1}{4}$，
得N的坐標為（$\frac{3c}{4}$，$\frac{3bc}{4a}$），
∵NF₂⊥ON，
∴$\frac{3bc}{4a}÷（\frac{3c}{4}-c）$=-$\frac{a}$，
化簡得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$

點評 本題主要考查雙曲線向量的計算，根據條件結合向量共線的條件進行轉化是解決本題的關鍵．