Question

20．已知函數$f（x）=\sqrt{（{{a^2}-1}）{x^2}-（{a-1}）x+1}$的定義域是全體實數，那么實數a的取值范圍是（-∞，-$\frac{5}{3}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，結合二次函數的性質求出a的范圍即可．

解答 解：若函數$f（x）=\sqrt{（{{a^2}-1}）{x^2}-（{a-1}）x+1}$的定義域是全體實數，
則a=1時，顯然成立，a=-1時，f（x）=$\sqrt{2x+1}$，不成立，
若a²-1≠0，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△{=（a-1）}^{2}-4{（a}^{2}-1）≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1或a≤-$\frac{5}{3}$，
故答案為：（-∞，-$\frac{5}{3}$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查分類討論思想，是一道基礎題．