Question

9．數獨游戲越來越受人們喜愛，今年某地區科技館組織數獨比賽，該區甲、乙、丙、丁四所學校的學生積極參賽，參賽學生的人數如表所示：

中學	甲	乙	丙	丁
人數	30	40	20	10

為了解參賽學生的數獨水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學的參賽學生中抽取30名參加問卷調查．
（Ⅰ）問甲、乙、丙、丁四所中學各抽取多少名學生？
（Ⅱ）從參加問卷調查的30名學生中隨機抽取2名，求這2名學生來自同一所中學的概率；
（Ⅲ）在參加問卷調查的30名學生中，從來自甲、丙兩所中學的學生中隨機抽取2名，用X表示抽得甲中學的學生人數，求X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）四所中學報名參加數獨比賽的學生總人數為100名，抽取的樣本容量與總體個數的比值$\frac{3}{10}$，由此能求出甲、乙、丙、丁四所中學各抽取的學生人數．
（Ⅱ）從30名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有$C_{30}^2=435$種，來自同一所中學的取法共有$C_9^2+C_{12}^2+C_6^2+C_3^2=120$，由此能求出從30名學生中隨機抽取兩名學生來自同一所中學的概率．
（Ⅲ）依題意得，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）由題意知，四所中學報名參加數獨比賽的學生總人數為100名，
抽取的樣本容量與總體個數的比值為$\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$，
所以甲、乙、丙、丁四所中學各抽取的學生人數分別為9，12，6，3．…（3分）
（Ⅱ）設“從30名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所中學”為事件A，
從30名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有$C_{30}^2=435$種，…（5分）
來自同一所中學的取法共有$C_9^2+C_{12}^2+C_6^2+C_3^2=120$．   …（7分）
所以$P（A）=\frac{120}{435}=\frac{8}{29}$．
答：從30名學生中隨機抽取兩名學生來自同一所中學的概率為$\frac{8}{29}$．          …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名學生中，來自甲、丙兩所中學的學生人數分別為9，6．
依題意得，X的可能取值為0，1，2，…（9分）
$P（X=0）=\frac{C_6^2}{{C_{15}^2}}=\frac{1}{7}$，
$P（X=1）=\frac{C_9^1C_6^1}{{C_{15}^2}}=\frac{18}{35}$，
$P（X=2）=\frac{C_9^2}{{C_{15}^2}}=\frac{12}{35}$．    …（12分）
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$

…．（14分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．