Question

17．已知圓C的圓心為點D（2，3），且與y軸相切，直線y=kx-1與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）若DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN為等腰直角三角形，因為r=2，則圓心D到直線y=kx-1的距離$d=\sqrt{2}$，即可求k的值．

解答 解：（Ⅰ）因為圓C的圓心為點D（2，3），且與y軸相切，
所以圓C的半徑r=2．
則所求圓C的方程為（x-2）²+（y-3）²=4． …（5分）
（Ⅱ）因為DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN為等腰直角三角形．
因為r=2，則圓心D到直線y=kx-1的距離$d=\sqrt{2}$．
則$\frac{|2k-3-1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得k=1或k=7． …（9分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．