Question

13．已知函數f（x）=（x-1）|x-a|-x-2a（x∈R）．
（1）若a=-1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若$a∈（-\frac{1}{2}，0）$，試判斷函數y=f（x）在R上的零點個數，并求此時y=f（x）所有零點之和的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方法一：化簡分段函數，分段求解方程的根即可，方法二：當a=-1時，利用f（x）=1化簡求解即可．
（2）化簡分段函數，通過當x≥a時，當x＜a時，求出函數的零點，推出${x_1}+{x_2}+{x_3}=a+2+\frac{{a-\sqrt{{a^2}-12a}}}{2}=\frac{3a}{2}-\frac{{\sqrt{{{（a-6）}^2}-36}}}{2}+2$，構造函數，利用函數的單調性，求解即可．

解答 解：（1）方法一：
當a=-1時，$f（x）=（x-1）|x+1|-x+2=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x+1，x≥-1\\-{x^2}-x+3，x＜-1\end{array}\right.$（2 分）
由f（x）=1得$\left\{\begin{array}{l}x≥-1\\{x^2}-x+1=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-{x^2}-x+3=1\end{array}\right.$（2 分）
解得 x=0，1，-2，即解集為{0，1，-2}． （2分）
方法二：當a=-1時，由f（x）=1得：（x-1）|x+1|-（x-1）=0（x-1）（|x+1|-1）=0（3分）
∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=-2
即解集為{0，1，-2}．  （3分）
（2）$f（x）=（x-1）|x-a|-x-2a=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（a+2）x-a，x≥a\\-{x^2}+ax-3a，x＜a\end{array}\right.$
當x≥a時，令x²-（a+2）x-a=0，∵$a∈（-\frac{1}{2}，0）$，
∴△=a²+8a+4=（a+4）²-12＞0
得${x_1}=\frac{{（a+2）-\sqrt{{a^2}+8a+4}}}{2}$，${x_2}=\frac{{（a+2）+\sqrt{{a^2}+8a+4}}}{2}$（2分）
且${x_1}-a=\frac{{（a+2）-\sqrt{{a^2}+8a+4}}}{2}-a=\frac{{2-a-\sqrt{{a^2}+8a+4}}}{2}$
先判斷2-a，與$\sqrt{{a^2}+8a+4}$大小：∵${（2-a）^2}-（{a^2}+8a+4）=-12a＞0∴（2-a）＞\sqrt{{a^2}+8a+4}$${x_1}-a=\frac{{2-a-\sqrt{{a^2}+8a+4}}}{2}＞0$，即a＜x₁＜x₂，故當x≥a時，f（x）存在兩個零點．（2分）
當x＜a時，令-x²+ax-3a=0，即x²-ax+3a=0得∵$a∈（-\frac{1}{2}，0）$，
∴△=a²-12a=（a-6）²-36＞0
得${x_3}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-12a}}}{2}$，${x_4}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-12a}}}{2}$
同上可判斷x₃＜a＜x₄，故x＜a時，f（x）存在一個零點．（2分）
綜上可知當$a∈（-\frac{1}{2}，0）$時，f（x）存在三個不同零點．
且${x_1}+{x_2}+{x_3}=a+2+\frac{{a-\sqrt{{a^2}-12a}}}{2}=\frac{3a}{2}-\frac{{\sqrt{{{（a-6）}^2}-36}}}{2}+2$
設$g（a）=\frac{3a}{2}-\frac{{\sqrt{{{（a-6）}^2}-36}}}{2}+2$，易知g（a）在$a∈（-\frac{1}{2}，0）$上單調遞增，
故g（a）∈（0，2）∴x₁+x₂+x₃∈（0，2）．  （ 2分）

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，函數的零點以及函數的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．