Question

8．定義min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，若函數f（x）=min{x²-3x+3，-|x-3|+3}，且f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{4}$]，則區(qū)間[m，n]長度的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{7}{4}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根據定義作出函數f（x）的解析式和圖象，根據函數值域，求出對應點的坐標，利用數形結合進行判斷即可．

解答 解：根據定義作出函數f（x）的圖象如圖：（藍色曲線），
其中A（1，1），B（3，3），
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-|x-3|，}&{x≤1或x≥3}\\{{x}^{2}-3x+3．}&{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
當f（x）=$\frac{3}{4}$時，當x≥3或x≤1時，由3-|x-3|=$\frac{3}{4}$，得|x-3|=$\frac{9}{4}$，
即x_C=$\frac{3}{4}$或x_G=$\frac{21}{4}$，
當f（x）=$\frac{7}{4}$時，當1＜x＜3時，由x²-3x+3=$\frac{7}{4}$，得x_E=$\frac{5}{2}$，
由圖象知若f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{4}$]，則區(qū)間[m，n]長度的最大值為x_F-x_C=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{7}{4}$，
故選：B．

點評 本題主要考查函數新定義的應用以及函數值域的求解，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．