Question

3．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是棱長為2的正方形，側棱$SD=2，SA=2\sqrt{2}$，∠SDC=120°．
（Ⅰ）求證：AD⊥面SDC；
（Ⅱ）求棱SB與面SDC所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由SD=2，SA=2$\sqrt{2}$，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由線面垂直的判定得AD⊥側面SDC；
（Ⅱ）證明∠BSC棱SB與面SDC所成角，即可求棱SB與面SDC所成角的大小．

解答 （Ⅰ）證明：∵SD=2，SA=2$\sqrt{2}$，
∴AD⊥SD，
又AD⊥CD，CD?側面SDC，SD?側面SDC，且SD∩CD=D，
∴AD⊥側面SDC；
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥側面SDC，
∴∠BSC是棱SB與面SDC所成角．
△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2$\sqrt{3}$，
△BSC中，tan∠BSC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠BSC=30°，
∴棱SB與面SDC所成角為30°．

點評 本題主要考查線面垂直，考查線面角的求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．