Question

14．已知O為橢圓中心，F₁為橢圓的左焦點，A，B分別為橢圓的右頂點與上頂點，P為橢圓上一點，若PF₁⊥F₁A，PO∥AB，則該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，利用已知條件列出方程，求解即可．

解答 解：O為橢圓中心，F₁為橢圓的左焦點，A，B分別為橢圓的右頂點與上頂點，P為橢圓上一點，若PF₁⊥F₁A，PO∥AB，如圖：可得：$\frac{P{F}_{1}}{OB}=\frac{O{F}_{1}}{OA}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{b}$=$\frac{b}{a}$，可得b=c，a=$\sqrt{2}$c，
所以橢圓的離心率為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力．