Question

5．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃=-9，a₄+a₆=a₅．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a${\;}_{n}+{2}^{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程，求出數列的首項與公差，然后推出通項公式．
（2）利用拆項法，分別求解等差數列以及等比數列的和即可．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}×d=-9}\\{{a}_{1}+3d+{a}_{1}+5d={a}_{1}+4d}\end{array}\right.$…（3分）
解得a₁=-4，d=1，…（5分）
∴a_n=-4+1×（n-1）=n-5．   …（6分）
（2）T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n+${2}^{{a}_{1}}+{2}^{{a}_{2}}+…+{2}^{{a}_{n}}$
=$\frac{n（-4+n-5）}{2}+\frac{1}{32}（{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}）$  …（10分）
=$\frac{n（n-9）}{2}+\frac{1}{32}×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{n（n-9）}{2}+\frac{{2}^{n}-1}{16}$．…（12分）

點評 本題考查等差數列以及等比數列的和求法，通項公式的應用，考查轉化思想以及計算能力．