Question

17．已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$有相同的焦點F₁，F₂，P為它們的一個交點，且${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，求出幾何量，即可得出雙曲線方程．

解答 解：由題意|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|²+|PF₂|²=12，
∴|PF₁||PF₂|=2，
∴||PF₁|-|PF₂||=2$\sqrt{2}$，
∴$a=\sqrt{2}$，∴b=1，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
故答案為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．

點評 本題考查雙曲線方程，考查橢圓、雙曲線的定義，屬于中檔題．