Question

5．已知f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數，則a的取值范圍是a＜0或1＜a≤4．

Answer 1

分析 根據復合函數單調性“同增異減”的原則，結合f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數，則f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上恒有意義，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：①當a＜0時，
2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數，且恒為正，
a-1＜0，故f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數，滿足條件；
②當a=0時，f（x）=-$\sqrt{2}$為常數函數，在[0，$\frac{1}{2}$]上不是減函數，不滿足條件；
③當0＜a＜1時，2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數，且恒為正，
a-1＜0，故f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數，不滿足條件；
④當a=1時，函數解析式無意義，不滿足條件；
⑤當0＜a＜1時，2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數，
a-1＞0，若f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數，
則2-ax≥0恒成立，即a≤4，故1＜a≤4；
綜上可得：a＜0或1＜a≤4，
故答案為：a＜0或1＜a≤4

點評 本題考查的知識點是復合函數的單調性，分類討論思想，難度中檔．