Question

10．已知AB是圓C：x²+y²-4x+2y+a=0的一條弦，M（1，0）是弦AB的中點，若AB=3，則實數a的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用配方法得到圓的標準方程，求出直線方程、圓心到直線的距離，根據弦AB=3，求出圓的半徑，即可得到a的值．

解答 解：圓C：x²+y²-4x+2y+a=0，即（x-2）²+（y+1）²=-a+5，
則圓心C（2，-1），半徑r=$\sqrt{5-a}$，
∵弦AB的中點為M（1，0）．
∴直線CM的斜率k=-1，
則直線l的斜率k=1，
則直線l的方程為y-0=x-1，即x-y-1=0．
圓心C到直線x-y-1=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
若弦AB=3，
則2+$\frac{9}{4}$=5-a，
解得a=$\frac{3}{4}$，
故答案為$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查直線和圓的方程的應用，利用配方法將圓配成標準方程是解決本題的關鍵．