Question

19．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，則它的表面積S=$\sqrt{3}$，體積V=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出四面體的高，再求出一個等邊三角形的面積，乘以4得表面積，代入棱錐體積公式求得體積．

解答 解：如圖，四面體S-ABC的各棱長為1，則其四個面均為邊長為1的等邊三角形，
過S作底面垂線，垂足為O，則O為底面三角形的中心，連接BO并延長，交AC于D．
則BD=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，BO=$\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴SO=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴正四面體的表面積S=4×$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$；
體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故答案為：$\sqrt{3}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．